IV. Geometrie nieeuklidesowe i ustalanie odległości

Tak bardzo jesteśmy przyzwyczajeni do geometrii euklidesowej, że nawet nie zdajemy sobie sprawy z tego, że często już na początku nieświadomie zakładamy, że przestrzeń jest euklidesowa. Żeby w ogóle dopuścić myśl, że może być inaczej, musimy najpierw wiedzieć coś na temat geometrii nieeuklidesowych.

Euklides tworzył swoją geometrie na płaskiej kartce i zakładał, że kartkę można rozciągnąć we wszystkich kierunkach w nieskończoność. Może wystarczyłoby, gdyby Ziemia była trochę mniejsza i ludzie od razu doszliby do wniosku, że nie ma nieskończonej płaszczyzny, że każda płaszczyzna zagina się i w końcu utworzy kulę. Nasze wyobrażenie o przestrzeni byłoby wtedy prawdopodobnie inne.

Na powierzchni kuli geometria wygląda inaczej niż na płaszczyźnie. Linie proste nie są nieskończone, tylko zaginają się i w końcu tworzą okręgi. Można konstruować różne trójkąty lub koła, ale suma kątów w trójkącie będzie zawsze większa niż 180 stopni i obwód kola zawsze będzie mniejszy niż 2πr. Różnica będzie tym większa, im większe będzie pole trójkąta lub kola. Jeżeli jednak ograniczymy się do malej przestrzeni na powierzchni kuli, to różnice w stosunku do geometrii euklidesowej będą nieznaczne. Z doświadczenia wiemy, że można zrobić dosyć dokładną mapę małego obszaru powierzchni Ziemi, czyli uznać ten kawałek powierzchni kuli za plaski.

Jeżeli mówimy o Ziemi, trzeba zwrócić uwagę na różnice pomiędzy nieeuklidesową geometrią na sferze i sferą opisaną, jako zakrzywiona powierzchnia zanurzona w trójwymiarowej przestrzeni euklidesowej.

W przestrzeni euklidesowej można wprowadzić współrzędne sferyczne zamiast ortogonalnych i nadal będziemy w przestrzeni euklidesowej, która jest niezakrzywiona. W prosty sposób można zamienić współrzędne sferyczne na ortogonalne i na odwrót. Współrzędnych sferycznych używa się w astronomii, gdzie rozmieszczenie obiektów opisujemy za pomocą kątów i odległości obliczonej na postawie jasności obiektów przy użyciu kilka dodatkowych założeń. Jeżeli przestrzeń jest euklidesowa, można łatwo przeliczyć kąty w stopniach na radiany i obliczyć na przykład średnicę galaktyki, jeżeli znamy jej odległość i zmierzymy kąt, pod jakim ją widzimy. Natomiast, jeżeli przestrzeń jest zakrzywiona, średnica galaktyki może być inna niż wynika z tych obliczeń. W przypadku przestrzeni sferycznej rzeczywista średnica galaktyki musi być mniejsza. Czy można zaobserwować coś, z czego byłoby można wywnioskować, że przestrzeń jest zakrzywiona? Tak. Oddalone obszary widzielibyśmy rozciągnięte i musiałoby nam się na przykład wydawać, że galaktyki obracają się za szybko w stosunku do ich masy. I to jest dokładnie to, co obserwujemy. Jednak zamiast przyjęcia interpretacji geometrycznej, jako dowodu na zakrzywienie przestrzeni, wymyślono ciemną materię…

Należy jeszcze dodać przynajmniej parę słów na temat geometrii hiperbolicznej. W odróżnieniu od geometrii euklidesowej, w której przez punkt poza prostą przechodzi dokładnie jedna prosta równoległa, w geometrii hiperbolicznej takich prostych jest nieskończenie wiele.

Następne różnice są na przykład takie, że suma kątów w trójkącie jest tu mniejsza niż 180 stopni i obwód koła jest większy niż 2πr. Jako przykład powierzchni hiperbolicznej podaje się często siodło.

Geometria hiperboliczna może pojawić się również na kuli, jeżeli promień kuli będzie liczbą urojoną. (Liczba urojona jest liczbą zespoloną, która podniesiona do kwadratu daje wartość rzeczywistą ujemną). Liczby zespolone są potrzebne do opisania niektórych zjawisk naszego świata i wydaje się, że mogą być potrzebne i do opisu geometrii Wszechświata. Do tego tematu wrócimy w następnym rozdziale.

Ze względu na nasze “przyzwyczajenie się” do geometrii Euklidesowej wyobrażamy sobie zakrzywione powierzchnie zanurzone w niezakrzywionej przestrzeni większego wymiaru. W ten sposób łatwiej jest nie tylko je sobie wyobrazić, ale i opisać. Nie musi tak jednak być. Zakrzywienie powierzchni lub przestrzeni jest określone przez wzajemne odległości ich punktów. W przestrzeni euklidesowej obowiązuje zasada, że można odległość każdych dwóch punktów x i y o współrzędnych x=(x1,x2,…,xn), y=(y1,y2,…,yn) zdefiniować wzorem

,

Jeżeli jest inaczej, to przestrzeń nie jest euklidesowa. Różnych możliwości jest sporo i z niektórymi zapoznamy się później.

Wzór wygląda dosyć skomplikowanie, w zasadzie oznacza tylko tyle, że w przestrzeni euklidesowej obowiązuje uogólnione twierdzenie Pitagorasa. Jeżeli ograniczymy się do trójwymiarowej przestrzeni z osiami x, y, z i jeden z punktów powiążemy z początkiem współrzędnych, to wzór na odległość otrzyma kształt

,

gdzie x, y i z oznaczają odpowiednie współrzędne oddalonego punktu. Taki zapis jest prostszy i bardziej przejrzysty. W razie potrzeby można w każdej chwili powrócić do ogólniejszej formy zapisu.

Ze względu na to, że w naszych rozważaniach będą potrzebne nie tylko liczby rzeczywiste, ale także liczby zespolone, których na co dzień się nie używa, przydatne może być podanie kilku informacji na ten temat.

V. Kilka zdań o liczbach zespolonych