V. Kilka zdań o liczbach zespolonych
Kto nie zna liczb zespolonych, może być zdziwiony, że coś takiego w ogóle istnieje. Jak może być kwadrat jakieś liczby ujemny, skoro przecież kwadrat dowolnej liczby rzeczywistej musi być nieujemny. Otóż, o to właśnie chodzi, że w ramach liczb rzeczywistych nie ma pierwiastków liczb ujemnych a czasami są potrzebne.
Dlaczego właściwie ludzie potrzebują liczb? Kiedyś dawno obchodzili się bez nich. Można zakładać, że najpierw potrzebne były małe liczby naturalne, aby policzyć członków grupy czy sztuki zwierząt. Z czasem nauczono się dodawać. Przez dodanie dwóch liczb naturalnych otrzymamy ponownie liczbę naturalną, tylko trochę większą. Górna granica używanych liczb podnosiła się wraz ze zwiększeniem ilości członków w grupie lub ilości używanych przedmiotów albo hodowanych zwierząt. Później nauczono się odejmować. Przez długi czas odejmowano tylko mniejsze liczby od większych. Wydawało się niemożliwe, żeby ilość mogła być ujemna. Dopiero, kiedy pojawiły się pożyczki, zrozumiano, jak pożyteczne mogą być liczby ujemne.
Wynika z tego, że interpretacja liczb i obliczeń wcale nie jest tak jednoznaczna i ewidentna, jak czasem myślimy. Zajęło to setki lat, zanim ludzie nauczyli się powszechnie używać liczb ujemnych. Z liczbami zespolonymi może to potrwać jeszcze dłużej…
Liczby naturalne wraz z ich ujemnymi odpowiednikami i zerem dają liczby całkowite. W ramach liczb całkowitych można dowolnie dodawać i odejmować i wynik zawsze będzie liczbą całkowitą. W ramach liczb całkowitych można także mnożyć. Mnożenie okazało się bardzo przydatne na przykład przy obliczaniu pola prostokątów. Tylko czasami było potrzebne dzielenie czegoś na części i tu już liczby całkowite nie wystarczyły. Potrzebne okazały się ułamki. W ten sposób dotarliśmy do liczb wymiernych, to znaczy liczb, które można zapisać w postaci ilorazu dwóch liczb całkowitych (gdzie druga jest różna od zera).
Niespodzianką było stwierdzenie, że istnieją liczby niewymierne. Okazały się potrzebne na przykład dla ustalenia długości przekątnej kwadratu. Ogólniej przy obliczaniu pierwiastków. Liczby wymierne razem z niewymiernymi tworzą liczby rzeczywiste, które w interpretacji geometrycznej tworzą prostą, tak zwaną oś liczbową. Jeżeli na prostej wyznaczymy jeden punkt i oznaczymy go jako zero a jeden punkt jako jedynkę, to każdej liczbie rzeczywistej można jednoznacznie przyporządkować jeden punkt na prostej i odwrotnie, każdemu punktowi na prostej odpowiada jedna liczba rzeczywista. Pozostał tylko jeden problem. W ramach liczb rzeczywistych nie ma pierwiastków ze wszystkich liczb. Ze względu na to, że rzeczywista liczba podniesiona do kwadratu nie może dać wyniku ujemnego, to w ramach liczb rzeczywistych nie może istnieć pierwiastek drugiego stopnia liczby ujemnej. Jeżeli w jakimś celu potrzebujemy go obliczyć, to musimy wyjść poza liczby rzeczywiste. Dlatego wymyślono liczby zespolone.
Liczby zespolone otrzymamy z liczb rzeczywistych w ten sposób, że do liczby rzeczywistej, która tworzy część rzeczywistą liczby zespolonej, dodajemy część urojoną. Część urojoną można rozumieć, jako dodatkowy wymiar w kierunku jednostki urojonej oznaczonej literą i. Jeżeli liczby rzeczywiste wyobrażamy sobie jako oś poziomą i liczby urojone jako oś pionową, to liczby zespolone będą tworzyły płaszczyznę zespoloną, gdzie liczba zespolona a+bi będzie określona za pomocą współrzędnych (a,b).
Widzimy, że wszystkie do tej pory pokazane liczby w interpretacji geometrycznej są powiązane z geometrią euklidesową. To oznacza, że i wszystkie obliczenia za pomocą tychże liczb zawierają w sobie ukryte założenie, że przestrzeń jest euklidesowa. Wydaje się, że do obliczeń dotyczących kosmologii przydałby się aparat matematyczny odpowiadający geometriom nieeuklidesowym…