XI. Zespolony czas i interwał czasoprzestrzenny
Zostawmy na chwilę problem kształtu całego Wszechświata i skupmy się na małym kawałku czasoprzestrzeni, w którym możemy zakrzywienie zignorować. W tym przypadku możemy czas reprezentować liczbą zespoloną, gdzie część rzeczywista reprezentuje czas lokalny a część urojona czas kosmiczny. Część rzeczywista czasu może być różnie postrzegana w zależności od ruchu obserwatora i zamiany z przestrzenią, natomiast część urojona zapewnia bieg czasu w jednym kierunku dla wszystkich obserwatorów.
W jaki sposób można zdefiniować odległość w takiej czasoprzestrzeni? W najprostszym przypadku, przy założeniu, że czas kosmiczny i czas lokalny będą miały taką samą wartość, otrzymamy wzór na odległość
\(d = \sqrt {x^2+y^2+z^2+i^2*c^2*t^2+c^2*t^2}\),
co ze względu na to, że \(i^2 = -1\) daje
\(d = \sqrt {x^2+y^2+z^2-c^2*t^2+c^2*t^2}\),
i ostatecznie
\(d = \sqrt {x^2+y^2+z^2}\), . Teraz dopiero widać, dlaczego możemy odległość w latach świetlnych, która tak naprawdę jest odległością w czasoprzestrzeni,(ponieważ podaje odległość w przestrzeni i w czasie), utożsamiać z odległością w przestrzeni (przestrzeni istniejącej tylko w naszym umyśle, ponieważ to, co widzimy jest mieszanką światła od obiektów różniących się wiekiem). Jeżeli na przykład jakiś obiekt jest od nas oddalony o 10 lat świetlnych, to wyobrażamy go sobie w kierunku, w którym do nas dochodzi od niego światło, w odległości około 95 bilionów kilometrów. Jednakże ten obiekt, tak jak go obserwujemy, jest od nas również oddalony 10 lat w czasie. Jeżeli chcemy mieć prawidłowe wyobrażenie o Wszechświecie, musimy w jakiś sposób ustalić jego położenie w czasoprzestrzeni. Jeżeli użyjemy klasycznego interwału czasoprzestrzennego, to otrzymamy zero, które nic nam nie mówi o rzeczywistym położeniu obiektu w czasoprzestrzeni. Jeżeli odległość obliczymy zgodnie z naszym wzorem dla odległości w czasoprzestrzeni, to otrzymamy około 95 bilionów kilometrów, tak jak to sobie wyobrażamy.
Ponownie widać, że obliczenia i wyobraźnia geometryczna są czymś zupełnie innym. Wynik obliczeń odległości w czasoprzestrzeni jest taki sam jak w przestrzeni i dodatkowe wymiary czasowe tu znikają. Natomiast w modelu geometrycznym wymiary czasowe nie znikają i możemy otrzymać dużo lepsze wyobrażenie o rozmieszczeniu obiektów. W modelu geometrycznym też dużo łatwiej przejść do zakrzywionej czasoprzestrzeni, która będzie potrzebna przy badaniu całego Wszechświata. Czasu już nie będzie można opisać zwykłą liczbą zespoloną, bo czas kosmiczny odpowiadający liczbie urojonej będzie promieniem rozszerzającej się kuli, a czas lokalny będzie tworzył spiralę biegnącą po powierzchni rozszerzającej się kuli. Obraz jeszcze bardziej się skomplikuje po dodaniu ruchu przyspieszonego i grawitacji.